새들 곡면을 핀 64개로: MPF 성형 해석과 남은 0.42 mm

지난 글은 이렇게 끝났습니다. "형상을 데이터로 다루면, 제조는 소프트웨어 문제가 됩니다." 그렇다면 다음 질문은 하나뿐입니다. 그 소프트웨어가 계산한 핀 높이대로 눌렀을 때, 판재는 얼마나 목표에 가까워지는가.

이 글은 그 질문에 숫자로 답하려고 수행한 유한요소 해석 기록입니다. Abaqus/CAE로 8×8 다점 성형(MPF) 공정을 모델링해 새들(saddle) 형상을 성형하고, 결과 곡면을 목표 곡면과 노드 단위로 비교했습니다.

무엇을 해석했나

MPF는 전용 금형 대신 재구성 가능한 핀 배열로 곡면을 만듭니다. 핀이 판재를 직접 때리면 자국(dimpling)이 남으므로, 그 사이에 탄성 쿠션을 넣은 3층 구조가 됩니다. 위에서부터 상부 핀 배열 — 상부 쿠션 — 알루미늄 시트 — 하부 쿠션 — 하부 핀 배열입니다.

부품	재료 모델	밀도 (tonne/mm³)	주요 값
상부 펀치 / 하부 다이	강체 (Rigid)	—	R3D4 강체 바디
상 · 하부 쿠션	Mooney–Rivlin PU A90	1.13 × 10⁻⁹	C₁₀ = 0.354, C₀₁ = 0.861 MPa, D₁ = 0.0412 MPa⁻¹, C3D8R
시트 (AA3003-H14)	탄–소성	2.73 × 10⁻⁹	E = 69,000 MPa, ν = 0.33, σ_y ≥ 115 MPa, S4R

핀은 지름 $D_{body} = 10\ \text{mm}$ 원통에 반경 $R_{tip} = 12\ \text{mm}$ 구형 팁을 씌운 형태이고, 바디 사이 순 간격 $g_p = 0.25\ \text{mm}$ 를 두었습니다. 따라서 핀 중심 간 피치는

$$p = D_{body} + g_p = 10.25\ \text{mm}$$

한 방향 핀 수 $N = 8$ 이므로 배열 스팬은 $L = (N-1)\,p = 71.75\ \text{mm}$, 시트는 100 × 100 × 3 mm AA3003-H14 입니다. 쿠션은 PU A90을 Mooney–Rivlin 초탄성으로 모델링했습니다 — 쿠션이 선형 탄성이면 접촉압 분포가 실제와 크게 달라지기 때문입니다.

목표 곡면: 쌍곡 포물면

새들 형상은 한 방향으로 볼록하고 직교 방향으로 오목한 곡면, 즉 쌍곡 포물면으로 정의했습니다. 이중 곡률이면서 전개 불가능한(non-developable) 형상이라 성형 난이도의 기준점으로 삼기에 적절합니다.

$$Y_{mid}(X, Z) = Y_0 + H_x \frac{X^2}{a^2} - H_z \frac{Z^2}{b^2}$$

$Y_{mid}$ 는 시트 중면의 목표 좌표, $H_x$ 와 $H_z$ 는 곡면 진폭, $a$ 와 $b$ 는 핀 배열의 반스팬입니다. 현재 8×8 구성에서

$$a = b = \frac{(N-1)\,p}{2} = \frac{7 \times 10.25}{2} = 35.875\ \text{mm}, \qquad H_x = H_z = 10\ \text{mm}$$

수직 기준 오프셋 $Y_0 = -10.10\ \text{mm}$ 를 적용하면 최종 목표 곡면은 다음과 같습니다.

$$Y_{mid}(X, Z) = -10.10 + 10\left(\frac{X}{35.875}\right)^2 - 10\left(\frac{Z}{35.875}\right)^2$$

프레스가 움직이기 전에 이미 써버린 0.41 mm

여기서 짚어둘 것이 있습니다. 위 식은 연속 곡면입니다. 그런데 우리가 실제로 지정할 수 있는 것은 64개 핀의 높이, 즉 그 곡면을 이산 격자에서 샘플링한 값뿐입니다.

두 값의 차이를 계산해 봅니다.

import numpy as np

p, N = 10.25, 8              # 핀 피치, 한 방향 핀 수
a = (N - 1) * p / 2          # 35.875 mm — 배열 반스팬
Y0, H = -10.10, 10.0

centers = np.linspace(-a, a, N)      # ±35.875, ±25.625, ±15.375, ±5.125
X, Z = np.meshgrid(centers, centers)
Y = Y0 + H * (X / a) ** 2 - H * (Z / a) ** 2

print(f"{Y.max() - Y.min():.4f} mm")   # 19.5918 mm

연속 곡면의 공칭 높이 범위는 $H_x - (-H_z) = 20\ \text{mm}$ 입니다. 그런데 64개 핀 위치에서 평가한 높이 범위는 19.592 mm 로 나옵니다. 0.408 mm가 사라졌습니다.

원인은 단순합니다. $N = 8$ 은 짝수이므로 핀이 곡면의 중심선을 절대 밟지 않습니다. 중심에 가장 가까운 핀 열은 $X = \pm 5.125\ \text{mm}$ 에 있고, 그 위치에서 목표 곡면은 이미

$$10 \left(\frac{5.125}{35.875}\right)^2 = 0.204\ \text{mm}$$

만큼 들려 있습니다. 볼록 방향과 오목 방향에서 각각 0.204 mm씩, 합쳐서 0.408 mm의 범위 결손이 생깁니다.

이 오차는 성질이 다릅니다. 접촉 조건을 다듬거나 하중 이력을 바꿔서 줄일 수 있는 값이 아닙니다. 핀 격자 밀도의 함수이고, 프레스가 한 번도 움직이지 않은 시점에 이미 확정됩니다. 형상 정밀도 목표를 세울 때 공정 오차와 이 격자 오차를 섞어 놓으면, 잡을 수 없는 것을 잡으려고 공정을 튜닝하게 됩니다.

해석 결과: 목표와 실제를 겹쳐 보기

아래는 목표 새들 곡면(파랑)과 Abaqus 해석 결과(빨강)를 같은 좌표계에 올린 것입니다. 드래그로 회전, 스크롤로 확대되고, 시트 노드는 목표 곡면과의 오차 크기로 색이 매겨져 있습니다. 범례를 눌러 각 요소를 켜고 끌 수 있습니다.

오차는 어디에 몰려 있나

성형 영역 안의 시트 노드 1,398개에서 목표 곡면까지의 편차를 계산했습니다.

지표	값	읽는 법
MAE	0.4216 mm	목표 곡면과의 평균 절대 편차
RMSE	0.6494 mm	전체 형상 오차. 큰 편차에 더 민감
최대	2.4789 mm	단일 노드에서 기록된 최대 오차
Bias	≈ 0 mm	결과 곡면이 목표 위나 아래로 전반적으로 치우치지 않음
표준편차	0.6494 mm	평균 주변 오차의 분산

Bias가 0에 근접했다는 것은 전체적인 높이 오프셋이 없다는 뜻이고, 그래서 RMSE와 표준편차가 같은 값으로 나옵니다. 즉 남은 오차는 위치에 따른 국부 편차이지, 판재 전체가 눌리거나 덜 눌린 문제가 아닙니다.

지표를 어떻게 정의했는지가 절반이다

형상 오차 수치는 정의를 밝히지 않으면 비교할 수 없습니다. 이 해석의 기준은 두 가지입니다.

• ALIGNED — 강체 이동과 판재 전체의 기울기를 제거한 뒤 형상 편차만 평가했습니다. 판재를 지그에 다시 물리면 없어질 오차를 형상 오차로 계산하지 않기 위해서입니다.
• ACTIVE — 핀 배열 하부의 주요 성형 영역 안에서만 지표를 계산했습니다. 배열 밖으로 나간 자유 단부는 애초에 성형 대상이 아닙니다.

정렬을 하지 않고 잰 형상 오차와 정렬 후에 잰 형상 오차는 다른 숫자입니다. 어느 쪽인지 밝히지 않은 값은 다른 공정과 비교할 근거가 되지 못합니다.

남은 2.48 mm

전체 일치는 양호합니다. MAE 0.42 mm, 노드의 74%가 ±0.5 mm 이내, 85%가 ±1.0 mm 이내이고 전체 편향도 없습니다. 그러나 최대 2.48 mm의 국부 편차는 남아 있고, 이건 평균으로 덮을 문제가 아닙니다. 통상 다음 세 가지와 관련됩니다.

1. 자유 단부 효과 — 배열 경계에서 판재를 잡아주는 것이 없어 곡률이 풀립니다.
2. 스프링백 — 하중을 떼면 탄성 복원이 형상을 되돌립니다. 정밀 공차의 가장 큰 적입니다.
3. 불균일 접촉압 분포 — 쿠션을 거쳐 전달되는 압력이 고르지 않으면 국부적으로 덜/더 성형됩니다.

위 3D 뷰의 Max error point 트레이스가 최대 오차 노드의 위치를 표시합니다. 그 점이 경계에 있는지 내부에 있는지가 세 원인 중 무엇을 먼저 볼지 결정합니다.

이 해석이 아직 말하지 않는 것

솔직하게 범위를 적어둡니다.

• 새들 단일 형상 1케이스입니다. 곡률 조합을 바꿨을 때의 일반화는 확인하지 않았습니다.
• 해석과 실측 성형 데이터의 비교가 아닙니다. 이 글의 모든 숫자는 FEM 결과와 이론 목표 곡면 사이의 값입니다.
• 앞서 계산한 격자 결손 0.408 mm와 MAE 0.4216 mm는 크기가 비슷하지만, 전자가 후자의 하한이라고 주장할 근거는 아직 없습니다. 핀 수를 늘려가며 MAE가 어떻게 따라오는지를 봐야 확인되는 명제이고, 다음 검증 대상입니다.

다음 단계

세 방향입니다. 핀 밀도를 올려 격자 오차 자체를 줄이는 것, 워밍 성형으로 스프링백을 완화하는 것, 그리고 측정 피드백으로 보정 패스를 도는 것입니다. 여기에 목표 곡면에서 핀 높이를 역산하는 계산기를 이 해석 루프에 물리면, 형상 하나가 들어와서 핀 높이가 나오고 그 결과가 다시 오차로 돌아오는 닫힌 루프가 됩니다.

금형 없이 곡면을 만든다는 주장은, 그 곡면이 얼마나 틀렸는지를 숫자로 말할 수 있을 때만 공정이 됩니다.